Intro (Divine Proportions) xv
I Preliminaries 1
1 Overview (Divine Proportions) 3
1.1 Introducing quadrance and spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Laws of rational trigonometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Why classical trigonometry is hard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Why rational trigonometry is easier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Comparison example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Ancient Greek triumphs and difficulties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7 Modern ambiguities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Background 21
2.1 Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Identities and determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Linear equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5 Polynomial functions and zeroes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 Quadratic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Cartesian coordinate geometry 35
3.1 Points and lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Collinear points and concurrent lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Parallel and perpendicular lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 Parallels and altitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5 Sides, vertices and triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6 Quadrilaterals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.7 Affine combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.8 Perpendicular bisectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4 Reflections 51
4.1 Affine transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Lineations and reflection sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
ix
x CONTENTS
II Rational trigonometry 57
5 Quadrance 59
5.1 Quadrances of triangles and quadrilaterals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Triple quad formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3 Pythagoras’ theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.4 Quadrance to a line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.5 Quadrea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.6 Archimedes’ formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.7 Quadruple quad formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6 Spread 73
6.1 Spreads of triangles and quadrilaterals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2 Cross . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3 Twist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.4 Ratio theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.5 Complementary spreads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.6 Spread law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.7 Cross law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.8 Spreads in coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.9 Vertex bisectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7 Triple spread formula 89
7.1 Triple spread formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.2 Triple cross formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.3 Triple twist formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.4 Equal spreads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.5 Spread reflection theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.6 Examples using different fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.7 Quadruple spread formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8 Spread polynomials 101
8.1 Combining equal spreads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.2 Spread polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.3 Special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.4 Explicit formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.5 Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.6 Composition of spread polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.7 Cross polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9 Oriented triangles and turns 113
9.1 Oriented sides, vertices and triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.2 Turns of oriented vertices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.3 Signed areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
CONTENTS xi
III Universal Geometry 119
10 Triangles 121
10.1 Isosceles triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.2 Equilateral triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
10.3 Right triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
10.4 Congruent and similar triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
10.5 Solving triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11 Laws of proportion 131
11.1 Triangle proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
11.2 Quadrilateral proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
11.3 Two struts theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
11.4 Stewart’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
11.5 Median quadrance and spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
11.6 Menelaus’ and Ceva’s theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
12 Centers of triangles 143
12.1 Perpendicular bisectors and circumcenters . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
12.2 Formulas for the circumcenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
12.3 Altitudes and orthocenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
12.4 Formulas for the orthocenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
12.5 Incenters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
13 Isometries 155
13.1 Translations, rotations, reflections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
13.2 Classifying isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
14 Regular stars and polygons 159
14.1 Regular stars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
14.2 Order three stars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
14.3 Order five stars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
14.4 Order seven stars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
14.5 Regular polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
15 Conics 167
15.1 Centers of conics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
15.2 Circles and ribbons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
15.3 Parabolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
15.4 Quadrolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
15.5 Grammolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
16 Geometry of circles 177
16.1 Diameters and chords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
16.2 Spreads in a circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
16.3 Parametrizing circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
xii CONTENTS
17 Quadrilaterals 183
17.1 Cyclic quadrilaterals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
17.2 Circumquadrance formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
17.3 Cyclic quadrilateral quadrea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
17.4 Ptolemy’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
17.5 Four point relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
18 Euler line and nine point circle 193
18.1 Euler line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
18.2 Nine point circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
19 Tangent lines and tangent conics 197
19.1 Translates and Taylor conics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
19.2 Tangent lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
19.3 Higher order curves and tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
19.4 Foliumof Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
19.5 Lemniscate of Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
IV Applications 211
20 Triangle spread rules 213
20.1 Spread ruler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
20.2 Line segments, rays and sectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
20.3 Acute and obtuse sectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
20.4 Acute and obtuse triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
20.5 Triangle spread rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
21 Two dimensional problems 221
21.1 Harmonic relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
21.2 Overlapping triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
21.3 Eyeball theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
21.4 Quadrilateral problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
22 Three dimensional problems 227
22.1 Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
22.2 Boxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
22.3 Pyramids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
22.4 Wedges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
22.5 Three dimensional Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
22.6 Pagoda and seven-fold symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
23 Physics applications 235
23.1 Projectilemotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
23.2 Algebraic dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
23.3 Snell’s law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
23.4 Lorentzian addition of velocities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
CONTENTS xiii
24 Surveying 243
24.1 Height of object with vertical face . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
24.2 Height of object with inaccessible base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
24.3 Height of a raised object . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
24.4 Regiomontanus’ problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
24.5 Height fromthree spreads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
24.6 Vertical and horizontal spreads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
24.7 Spreads over a right triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
24.8 Spherical analogue of Pythagoras’ theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
25 Resection and Hansen’s problem 251
25.1 Snellius-Pothenot problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
25.2 Hansen’s problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
26 Platonic solids 259
26.1 Tetrahedron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
26.2 Cube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
26.3 Octahedron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
26.4 Icosahedron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
26.5 Dodecahedron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
27 Rational polar coordinates 265
27.1 Polar spread and quadrance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
27.2 Evaluating π2/16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
27.3 Beta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
27.4 Rational spherical coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
27.5 Surfacemeasure on a sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
27.6 Four dimensional rational spherical coordinates . . . . . . . . . . . . . . . 277
27.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
A Rational polar equations of curves 279
B Ellipson 287
Theorems with pages and Important Functions 289