Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .VII
List of symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XIII
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Convex Functions on Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1 Convex Functions at First Glance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Young’s Inequality and Its Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Smoothness Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 An Upper Estimate of Jensen’s Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5 The Subdifferential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6 Integral Representation of Convex Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.7 Conjugate Convex Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.8 The Integral Form of Jensen’s Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.9 The Hermite–Hadamard Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.10 Convexity and Majorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.11 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2 Comparative Convexity on Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.1 Algebraic Versions of Convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.2 The Gamma and Beta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.3 Generalities on Multiplicatively Convex Functions . . . . . . . . . . . 77
2.4 Multiplicative Convexity of Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.5 An Estimate of the AM–GM Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.6 (M,N)-Convex Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.7 Relative Convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.8 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
XII Contents
3 Convex Functions on a Normed Linear Space . . . . . . . . . . . . . . 101
3.1 Convex Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.2 The Orthogonal Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3 Hyperplanes and Separation Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.4 Convex Functions in Higher Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.5 Continuity of Convex Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.6 Positively Homogeneous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.7 The Subdifferential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.8 Differentiability of Convex Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.9 Recognizing Convex Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.10 The Convex Programming Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.11 Fine Properties of Differentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.12 Pr´ekopa–Leindler Type Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.13 Mazur–Ulam Spaces and Convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.14 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4 Choquet’s Theory and Beyond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.1 Steffensen–Popoviciu Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.2 The Jensen–Steffensen Inequality and Majorization . . . . . . . . . . 184
4.3 Steffensen’s Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.4 Choquet’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
4.5 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
A Background on Convex Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
A.1 The Hahn–Banach Extension Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
A.2 Separation of Convex Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
A.3 The Krein–Milman Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
B Elementary Symmetric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
B.1 Newton’s Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
B.2 More Newton Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
B.3 A Result of H. F. Bohnenblust . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
C The Variational Approach of PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
C.1 The Minimum of Convex Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
C.2 Preliminaries on Sobolev Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
C.3 Applications to Elliptic Boundary-Value Problems . . . . . . . . . . . 228
C.4 The Galerkin Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
D Horn’s Conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
D.1 Weyl’s Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
D.2 The Case n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
D.3 Majorization Inequalities and the Case n = 3 . . . . . . . . . . . . . . . 238
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253