Introductory Remarks on Computer Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Basic Notations and Ideas: A Historical Account . . . . . . . . . . 11
2 Basic Computational Problems and Their Solution . . . . . . . . 37
2.1 The Geometry-Algebra Dictionary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Basic Applications of Grobner Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 An Introduction to SINGULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1 General Remarks on SINGULAR and its Syntax . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Rings in SINGULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.1 Global Monomial Orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.2 Creating Ring Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3 Ideals, Vectors and Modules in SINGULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4 Handling Graded Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5 Computing Grobner Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.6 Basic Applications of Grobner Bases (revisited) . . . . . . . . . . . . . 87
3.6.1 Ideal Membership Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.6.2 Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.6.3 Kernel of a Ring Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.6.4 Test for Subalgebra Membership . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.6.5 Test for Surjectivity of a Ring Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.6.6 Syzygies and Free Resolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.7 Grobner Bases over Noncommutative Algebras . . . . . . . . . . . . . . 103
3.8 Writing SINGULAR Procedures and Libraries . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.9 Communication with Other Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.10 Visualization: Plotting Curves and Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Practical Session I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Practical Session II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
XIV Contents
4 Homological Algebra I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.1 Lifting Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.2 Constructive Module Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.2.1 Cokernels and Mapping Cones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2.2 Modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2.3 Kernel, Hom, Ext, Tor, and more . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.2.4 Some Explicit Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5 Homological Algebra II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.1 Flatness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.2 Depth and Codimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.3 Cohen-Macaulay Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Practical Session III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6 Solving Systems of Polynomial Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.1 Grobner Basis Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.1.1 Computing Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.1.2 Zero-Dimensional Solving by Elimination . . . . . . . . . . . . . 172
6.1.3 Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.2 Resultant Based Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.2.1 The Sylvester Resultant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.2.2 Multipolynomial Resultants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.2.3 Zero-Dimensional Solving via Resultants . . . . . . . . . . . . . 190
7 Primary Decomposition and Normalization . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.1 Primary Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.2 Normalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Practical Session IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8 Algorithms for Invariant Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.1 Finite Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8.1.1 The Nonmodular Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8.1.2 The Modular Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
8.1.3 Quotients for Finite Group Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.2 Linearly Reductive Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9 Computing in Local Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
9.1 Rings Implemented by Monomial Orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
9.2 Standard Bases and their Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
9.3 Factorization and Primary Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
9.4 Computing Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
9.5 Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
9.6 Hamburger-Noether Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Contents XV
Practical Session V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Appendix A Sheaf Cohomology and Beilinson Monads . . . . . . . 273
Appendix B Solutions to Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319